Ο Σαββίδης είχε γίνει γνωστός στο Ελληνικό κοινό από την εθνική Κύπρου, όταν μαζί με την εθνική Ελλάδος βρισκόταν στο 5ο γκρουπ των προκριματικών για το Ευρωπαϊκό του 1988, στον αγώνα της Λευκωσίας μάλιστα είχε σκοράρει. Η μεταγραφή αυτή θεωρήθηκε μεγάλη επιτυχία του προέδρου, Ανδρέα Ζαφειρόπουλου, αφού υπήρξε ενδιαφέρον για τον παίκτη τόσο από τον Ολυμπιακό, όσο και από τον Παναθηναϊκό και η μεταγραφή του κόστισε 40 εκατομμύρια δραχμές.
Ο Σαββίδης ξεκίνησε την καριέρα του το 1979 στον Ολυμπιακό Λευκωσίας και το 1981 μεταπήδησε στην Ομόνοια όπου έκανε 190 συμμετοχές στο πρωτάθλημα σκοράροντας 101 γκολ. Με το τριφύλλι της Κύπρου πανηγύρισε 5 πρωταθλήματα, 2 κύπελλα και 3 super cup. Στην ένωση αγωνίστηκε μέχρι το καλοκαίρι του 1992 και κατέκτησε 2 πρωταθλήματα,1 super cup και 1 league cup.
Αν και την πρώτη του χρονιά, στην ΑΕΚ, αμφισβητήθηκε αρκετά ο Σαββίδης έπαιξε στην ένωση για πέντε χρόνια, φορώντας το περιβραχιόνιο του αρχηγού τα τέσσερα. Με τον δικέφαλο κατέκτησε 2 πρωταθλήματα (1989,1992), 1 super cup (1989) και 1 league cup (1990). Ήταν πολύ γρήγορος παίκτης, με αστείρευτες δυνάμεις και αντοχές, ενώ οι κούρσες του προκαλούσαν τρόμο στις αντίπαλες άμυνες, οι οποίες χρησιμοποιούσαν πολύ συχνά σκληρά μαρκαρίσματα για να τον κόψουν, με την ΑΕΚ είχε περίπου 150 επίσημες συμμετοχές με 35 γκολ, αρκετά από αυτά πολύ εντυπωσιακά πανηγυρίζοντας τα με την κλασική τούμπα.
